Thư viện bài toán

Cho phương trình $(m-1)x^2-2mx+m+2=0$ với tham số $m$. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
(a) Phương trình là phương trình bậc hai khi $m\ne 1$.
(b) Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $m\le 2$, $m\ne 1$.
(c) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $-2<m<1.$
(d) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi $1<m<2.$

Cho biểu thức $R(x)=\frac{x^2-9}{x^2-2x}$ và bảng xét dấu như hình dưới đây.

Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
(a) Điều kiện xác định là $x\ne 0$.
(b) $R(x)>0$ trên $(-\infty ;-3)\cup (0;2)\cup (3;+\infty )$.
(c) $R(x)<0$ trên $(-3;0)\cup (2;3)$.
(d) $R(x)\le 0\iff x\in [-3;0]\cup [2;3]$.

Cho biểu thức $R(x)=\frac{x^2+1}{x^2-4}$. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
(a) Biểu thức xác định với mọi $x\ne \pm 2$.
(b) $R(x)=0$ có nghiệm $x=0$.
(c) $R(x)<0\iff -2<x<2.$
(d) Bất phương trình $R(x)\ge 0$ có tập nghiệm $(-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )$.

Cho biểu thức $R(x)=\frac{2x-1}{x^2-4x+3}$ và bảng xét dấu như hình dưới đây.

Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
(a) Điều kiện xác định là $x\ne 1$, $x\ne 3$.
(b) $R(x)>0\iff x\in (-\infty ;\frac{1}{2})\cup (1;3)$.
(c) $R(x)<0\iff x\in (-\infty ;\frac{1}{2})\cup (1;3)$.
(d) Tập nghiệm của $R(x)\ge 0$ là $\left[\frac{1}{2};1\right)\cup (3;+\infty )$.

Cho biểu thức $P(x)=(x^2-4x+8)(x^2-x-6)$. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
(a) $x^2-4x+8>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
(b) Dấu của $P(x)$ luôn trùng với dấu của $x^2-x-6$.
(c) $P(x)<0\iff -2<x<3.$
(d) Tập nghiệm của bất phương trình $P(x)\ge 0$ là $[-2;3]$.