Thư viện bài toán

Người ta làm ra một cái thang bắc lên tầng hai của một ngôi nhà (hình vẽ), muốn vậy họ cần làm một thanh đỡ BC có chiều dài bằng 4m, đồng thời muốn đảm bảo kỹ thuật thì tỉ số độ dài $\frac{CE}{BD}=\frac{5}{3}$. Hỏi vị trí A cách vị trí B bao nhiêu mét?

Một chú thỏ ngày nào cũng ra bờ suối ở vị trí A, cách cửa hang của mình tại vị trí B là 370 m để uống nước, sau đó chú thỏ sẽ đến vị trí C cách vị trí $Al\grave{a}120m$ để ăn cỏ rồi trở về hang. Tuy nhiên, hôm nay sau khi uống nước ở bờ suối, chú thỏ không đến vị trí C như mọi ngày mà chạy đến vị trí D để tìm cà rốt rồi mới trở về hang (xem hình bên dưới). Biết rằng, tổng thời gian chú thỏ chạy từ vị trí A đến vị trí D rồi về hang là 30 giây (không kể thời gian tìm cà rốt), trên đoạn AD chú thỏ chạy với vận tốc là $13\frac{m}{s}$, trên đoạn BD chú thỏ chạy với vận tốc là 15m/s. Tính khoảng cách giữa hai vị trí C và D.

Cho tam giác ABC vuông tại A có BC. Điểm D nằm trên tia AB sao cho $DB=3cm,DC=8cm$ (xem hình vẽ). Đặt $AC=x$. Tính diện tích tam giác $BCD$ (làm tròn kết quả đến hàng phân mười).

Một chú thỏ ngày nào cũng ra bờ suối ở vị trí $A$, cách cửa hang của mình tại vị trí $B$ là $370m$ để uống nước, sau đó chú thỏ sẽ đến vị trí $C$ cách vị trí $A120m$ để ăn cỏ rồi trở về hang. Tuy nhiên, hôm nay sau khi uống nước ở bờ suối, chú thỏ không đến vị trí $C$ như mọi ngày mà chạy đến vị trí $D$ để tìm cà rốt rồi mới trở về hang (xem hình bên dưới). Biết rằng, tổng thời gian chú thỏ chạy từ vị trí $A$ đến vị trí $D$ rồi về hang là 30 giây (không kể thời gian tìm cà rốt), trên đoạn $AD$ chú thỏ chạy với vận tốc là $13m/s$, trên đoạn $BD$ chú thỏ chạy với vận tốc là $15m/s$. Vị trí $C$ cách vị trí $D$ bao nhiêu mét?

Cho tam giác $ABC$ có cạnh $BC=10$, góc $ABC$ bằng $60^{°}$. Trên cạnh $AB$ ta lấy điểm $M$ sao cho $AM=3$ (như hình vẽ).

Đoạn thẳng $BM$ dài bao nhiêu? Biết rằng $CM=\frac{8}{9}CA$ và $BM>8$ (đáp số gần đúng đến hàng phần mười).

Xét nửa đường tròn đường kính $MN=10$. Xét điểm $B$ (không trùng hai điểm $M,N$) di động trên nửa đường tròn và hình chiếu của $B$ trên đoạn $MN$ là điểm $A$, vẽ hình chữ nhật $ABCD$ với $C$ cũng thuộc nửa đường tròn. Tìm độ dài $IA$ biết rằng chu vi hình chữ nhật $ABCD$ bằng 22 và độ dài $IA$ là một số nguyên.

Tập nghiệm phương trình $\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=2x-12+2\sqrt{x^2-16}$ có bao nhiêu phần tử dương?

Tập nghiệm phương trình $2x-x^2+\sqrt{6x^2-12x+7}=0$ có bao nhiêu phần tử dương?

Phương trình $\sqrt[3]{x+7}=1+\sqrt{x}$ có bao nhiêu nghiệm dương?