Thư viện bài toán

Cho tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$. Gọi $I$ là trung điểm $AM$ và $K$ là điểm thuộc $AC$ sao cho $AK=\frac{1}{3}AC$. Chứng minh ba điểm (b), $I,K$ thẳng hàng.

Cho tam giác$ABC$. Điểm $M$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $MB=2MC$. Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.

Cho $\Delta ABC$ có trọng tâm $G$. Cho các điểm $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$ và $I$ là giao điểm của $AD$ và $EF$. Đặt $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AE},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AF}$. Hãy phân tích các vectơ $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AG},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DC}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$.

Cho $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$ và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho: $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{a};\overrightarrow{ON}=-4\overrightarrow{a}$.

Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng. Ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng. Tìm mối liên hệ giữa trọng lực $\overrightarrow{P}$ của vật và lực đẩy Archimedes $\overrightarrow{F}$ mà chất lỏng tác động lên vật. Tính tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng.

Cho tứ giác $ABCD$. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DN}=k\overrightarrow{DC}$. Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

Cho tam giác $ABC$ . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau :
(a)$\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|$
(b) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=k\left(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\right)$ với k là số thực thay đổi

Cho tam giác $ABC$
(a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$.
(b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}\right|$.

Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho $AB=3AM,CD=2CN$ và G là trọng tâm tam giác $MNB$. Phân tích các vectơ $\overrightarrow{AN},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{AG}$ qua các véc tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$