Thư viện bài toán

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD;G$ là trung điểm của $EF;O$ là điểm bất kì. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$
(b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$
(c) $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})$
(d) $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$

Cho tam giác $ABC$. Lấy các điểm $I,J$ sao cho $2\overrightarrow{IA}+5\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ và $3\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}+1\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}$. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{AI}=\frac{2}{7}\overrightarrow{AC}$
(b) $\overrightarrow{AJ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$
(c) Điểm $J$ thuộc đường thẳng $BC$
(d) $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{23}{42}\overrightarrow{AC}$

Cho tam giác $ABC$. Lấy các điểm $I,J$ sao cho $4\overrightarrow{IA}+1\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ và $1\overrightarrow{JA}+3\overrightarrow{JB}+2\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}$. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$
(b) $\overrightarrow{AJ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
(c) Điểm $J$ không thuộc đường thẳng $BC$
(d) $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{15}\overrightarrow{AC}$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác và $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$. Khi đó:
(a) $BD\parallel BH$
(b) $CD\parallel BH$
(c) $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HO}$
(d) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác và $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$. Khi đó:
(a) $BD\parallel CH$
(b) $CD\parallel CH$
(c) $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=3\overrightarrow{HO}$
(d) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác và $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$. Khi đó:
(a) $BD\parallel CH$
(b) $CD\parallel BH$
(c) $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HO}$
(d) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OH}$

Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ và $I$ là trung điểm của $BC$. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$
(b) $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MI}$
(c) Điều kiện trên tương đương $2MG=3MI$
(d) Tập hợp điểm $M$ thỏa mãn điều kiện trên là đường trung trực của đoạn $GI$

Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ và $I$ là trung điểm của $BC$. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MG}$
(b) $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$
(c) Điều kiện $2|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=3|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|$ tương đương $MG=MI$
(d) Tập hợp điểm $M$ thỏa mãn điều kiện trên là đường trung trực của đoạn $GI$

Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ và $I$ là trung điểm của $BC$. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$
(b) $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$
(c) Điều kiện $2|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=3|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|$ tương đương $MG=MI$
(d) Tập hợp điểm $M$ là đường tròn đường kính $GI$

Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $O$. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,CD$ và điểm $P$ thỏa mãn $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{0}$
(b) $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}$
(c) $\overrightarrow{AP}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AO}$
(d) $\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OP}$