Thư viện bài toán

Cho $\Delta ABC$. Gọi $I$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $2CI=BI.J$ là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho $5JB=JC$. G là trọng tâm $\Delta ABC$. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{BI}=2\overrightarrow{CI}$
(b) $\overrightarrow{AI}=-\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}$
(c) $\overrightarrow{AJ}=\frac{5}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$
(d) $\overrightarrow{AG}=\frac{14}{27}\overrightarrow{AI}-\frac{172}{27}\overrightarrow{AJ}$

Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC. Gọi G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, $A{A}^{{}^{\prime }}$ là đường kính của $(O)$. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{A^{{}^{\prime }}C}$
(b) $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}$
(c) $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=3\overrightarrow{HO}$
(d) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OH}$

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, BC . Lấy hai điểm $I,J$ sao cho: $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ và $2\overrightarrow{JA}+5\overrightarrow{JB}+3\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}$. Khi đó:
(a) $M,N,J$ thẳng hàng.
(b) $\overrightarrow{JM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{JN}$
(c) J là trung điểm của BI.
(d) Gọi E là điểm thuộc AB sao cho $\overrightarrow{AE}=\frac{5}{7}\overrightarrow{AB}$ thì $C,E,J$ thẳng hàng.

Cho $\Delta ABC$. Gọi I là điểm nằm trên cạnh BC sao cho $IB=3IC$.Khi đó:
(a) $\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{IC}$ ngược hướng
(b) $\overrightarrow{AI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$
(c) Gọi J và K lần lượt là các điểm thuộc cạnh $AC,AB$ sao cho $JA=2JC,KB=3KA.\overrightarrow{JK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$
(d) $\overrightarrow{BC}=-\frac{20}{17}\overrightarrow{AI}-\frac{48}{17}\overrightarrow{JK}$

Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,CD$ và P là điểm thỏa mãn hệ thức: $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{0}$
(b) $3\overrightarrow{AP}-3\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$
(c) Ba điểm $B,P,N$ không thẳng hàng
(d) Ba đường thẳng $AC,BD,MN$ đồng quy

Cho $\Delta ABC$. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho $2CI=3BI$ và J là điểm trên $BC$ kéo dài sao cho $5JB=2JC$. Phân tích các vectơ $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ}$ theo cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Khi đó:
(a) $2\overrightarrow{IC}=-3\overrightarrow{IB}$
(b) $5\overrightarrow{JB}=3\overrightarrow{JC}$
(c)$\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$
(d) $\overrightarrow{AJ}=\frac{5}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

Cho $\Delta ABC$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. Khi đó:
(a) $2\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}$
(b) $\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{CM}-\frac{4}{3}\overrightarrow{BN}$
(c) $\overrightarrow{AC}=\frac{4}{3}\overrightarrow{CM}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}$
(d) $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BN}-\frac{1}{3}\overrightarrow{CM}$.