Thư viện bài toán

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác vuông $ABC$, với cạnh huyền $BC=12$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$.

Cho tam giác $ABC$. Xác định điểm $M$ thỏa điều kiện $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$.

Cho tam giác $ABC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}$, với $O$ là điểm bất kì.

Cho bốn điểm bất kỳ $A,B,C$ và $D$. Hãy chứng minh đẳng thức: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$ với tâm là $O$. Tính:
$a$ Độ dài vectơ $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}$ (b) Tính $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right|$.

Cho tam giác $ABC$. Các điểm $M,N$ và $P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,AC$ và $BC$.
1) Tìm các hiệu sau $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN};\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{NC}$ và $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PN}$;
2) Phân tích vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$.

Cho hình bình hành $ABCD$ với $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AD$. Tìm tổng của hai vectơ:
$a$ $\overrightarrow{NC}$ và $\overrightarrow{MC}$ (b) $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{CD}$

Một ô nền trang trí có dạng hình thoi $ABCD$, cạnh $6$ m và góc $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo, $M$ là trung điểm của $BC$. Tính độ lớn vectơ $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AO}$. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Một tam giác vuông $ABC$ (vuông tại $A$) mô phỏng một khu công viên, với $AB=18$ m, $AC=24$ m. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $D$ sao cho $BD:DC=2:1$, và gọi $G$ là trọng tâm tam giác. Tính độ lớn vectơ $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AG}$. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Một robot khảo sát đi từ điểm xuất phát $A$ theo lộ trình: $18$ m về phía Đông rồi $24$ m về phía Bắc. Sau đó robot nhận lệnh hiệu chỉnh và đi một vectơ ngược hướng với vectơ độ dời hiện thời, có độ dài đúng bằng một nửa độ dời đó. Tính khoảng cách thẳng từ vị trí cuối cùng của robot đến $A$.