Thư viện bài toán

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn
$$\frac{\sin \alpha +2\cos \alpha }{3\sin \alpha -\cos \alpha }=-\frac{4}{9},$$
và giả sử các biểu thức xuất hiện đều xác định.
a) Chứng minh $\cos \alpha \ne 0$ và đặt $t=\tan \alpha$ để lập phương trình theo $t$;
b) Giải phương trình, từ đó xác định $\tan \alpha$;
c) Tính $A=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }$;
d) Tính $B=\frac{{\tan }^2\alpha +3\tan \alpha +1}{2{\tan }^2\alpha -\tan \alpha +2}$;
e) Nếu $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$, hãy thảo luận khả năng xác định riêng $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ từ dữ kiện đã cho.

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn
$$\frac{\sin \alpha +2\cos \alpha }{3\sin \alpha -\cos \alpha }=-\frac{3}{5},$$
và giả sử các biểu thức xuất hiện đều xác định.
a) Chứng minh $\cos \alpha \ne 0$ và đặt $t=\tan \alpha$ để lập phương trình theo $t$;
b) Giải phương trình, từ đó xác định $\tan \alpha$;
c) Tính $A=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }$;
d) Tính $B=\frac{{\tan }^2\alpha +3\tan \alpha +1}{2{\tan }^2\alpha -\tan \alpha +2}$;
e) Nếu $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$, hãy thảo luận khả năng xác định riêng $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ từ dữ kiện đã cho.

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn
$$\frac{\sin \alpha +2\cos \alpha }{3\sin \alpha -\cos \alpha }=\frac{17}{9},$$
và giả sử các biểu thức xuất hiện đều xác định.
a) Chứng minh $\cos \alpha \ne 0$ và đặt $t=\tan \alpha$ để lập phương trình theo $t$;
b) Giải phương trình, từ đó xác định $\tan \alpha$;
c) Tính $A=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }$;
d) Tính $B=\frac{{\tan }^2\alpha +3\tan \alpha +1}{2{\tan }^2\alpha -\tan \alpha +2}$;
e) Nếu $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$, hãy thảo luận khả năng xác định riêng $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ từ dữ kiện đã cho.

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn
$$\frac{\sin \alpha +2\cos \alpha }{3\sin \alpha -\cos \alpha }=2,$$
và giả sử các biểu thức xuất hiện đều xác định.
a) Chứng minh $\cos \alpha \ne 0$ và đặt $t=\tan \alpha$ để lập phương trình theo $t$;
b) Giải phương trình, từ đó xác định $\tan \alpha$;
c) Tính $A=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }$;
d) Tính $B=\frac{{\tan }^2\alpha +3\tan \alpha +1}{2{\tan }^2\alpha -\tan \alpha +2}$;
e) Nếu $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$, hãy thảo luận khả năng xác định riêng $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ từ dữ kiện đã cho.

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn
$$\frac{\sin \alpha +2\cos \alpha }{3\sin \alpha -\cos \alpha }=\frac{11}{5},$$
và giả sử các biểu thức xuất hiện đều xác định.
a) Chứng minh $\cos \alpha \ne 0$ và đặt $t=\tan \alpha$ để lập phương trình theo $t$;
b) Giải phương trình, từ đó xác định $\tan \alpha$;
c) Tính $A=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }$;
d) Tính $B=\frac{{\tan }^2\alpha +3\tan \alpha +1}{2{\tan }^2\alpha -\tan \alpha +2}$;
e) Nếu $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$, hãy thảo luận khả năng xác định riêng $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ từ dữ kiện đã cho.

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn
$$\frac{\sin \alpha +2\cos \alpha }{3\sin \alpha -\cos \alpha }=\frac{8}{3},$$
và giả sử các biểu thức xuất hiện đều xác định.
a) Chứng minh $\cos \alpha \ne 0$ và đặt $t=\tan \alpha$ để lập phương trình theo $t$;
b) Giải phương trình, từ đó xác định $\tan \alpha$;
c) Tính $A=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }$;
d) Tính $B=\frac{{\tan }^2\alpha +3\tan \alpha +1}{2{\tan }^2\alpha -\tan \alpha +2}$;
e) Nếu $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$, hãy thảo luận khả năng xác định riêng $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ từ dữ kiện đã cho.

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn
$$\frac{\sin \alpha +2\cos \alpha }{3\sin \alpha -\cos \alpha }=5,$$
và giả sử các biểu thức xuất hiện đều xác định.
a) Chứng minh $\cos \alpha \ne 0$ và đặt $t=\tan \alpha$ để lập phương trình theo $t$;
b) Giải phương trình, từ đó xác định $\tan \alpha$;
c) Tính $A=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }$;
d) Tính $B=\frac{{\tan }^2\alpha +3\tan \alpha +1}{2{\tan }^2\alpha -\tan \alpha +2}$;
e) Nếu $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$, hãy thảo luận khả năng xác định riêng $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ từ dữ kiện đã cho.

Góc nghiêng của Mặt Trời $\alpha$ tại một vị trí có vĩ độ $\phi$ vào ngày thứ $N$ trong năm được xấp xỉ bởi
$$\alpha =90^{\circ }-\phi -\left|\cos \left(\left(\frac{2(N+10)}{365}-m\right)180^{\circ }\right)\right|\cdot 23,5^{\circ },$$
trong đó $m=0$ nếu $1\le N\le 172,m=1$ nếu $173\le N\le 355,m=2$ nếu $356\le N\le 365$.
Tại một địa điểm có vĩ độ $\phi =19^{\circ }$, xét ngày thứ $N=365$ của năm không nhuận. Đồng thời, tại giữa trưa, một thước thẳng cao $1.50\text{m}$ tạo bóng dài $1.31\text{m}$ trên mặt đất.
a) Xác định giá trị của tham số $m$;
b) Tính góc nghiêng theo công thức thiên văn trên;
c) Tính góc nghiêng theo phương pháp đo trực tiếp, biết $\tan \alpha =\frac{\text{chieˆˋu cao thước}}{\text{độ daˋi boˊng}}$;
d) So sánh hai kết quả và thảo luận các nguyên nhân có thể gây sai lệch;
e) Nêu ảnh hưởng của góc nghiêng Mặt Trời đến năng lượng bức xạ nhận được trên một đơn vị diện tích.

Góc nghiêng của Mặt Trời $\alpha$ tại một vị trí có vĩ độ $\phi$ vào ngày thứ $N$ trong năm được xấp xỉ bởi
$$\alpha =90^{\circ }-\phi -\left|\cos \left(\left(\frac{2(N+10)}{365}-m\right)180^{\circ }\right)\right|\cdot 23,5^{\circ },$$
trong đó $m=0$ nếu $1\le N\le 172,m=1$ nếu $173\le N\le 355,m=2$ nếu $356\le N\le 365$.
Tại một địa điểm có vĩ độ $\phi =17^{\circ }$, xét ngày thứ $N=356$ của năm không nhuận. Đồng thời, tại giữa trưa, một thước thẳng cao $1.70\text{m}$ tạo bóng dài $1.42\text{m}$ trên mặt đất.
a) Xác định giá trị của tham số $m$;
b) Tính góc nghiêng theo công thức thiên văn trên;
c) Tính góc nghiêng theo phương pháp đo trực tiếp, biết $\tan \alpha =\frac{\text{chieˆˋu cao thước}}{\text{độ daˋi boˊng}}$;
d) So sánh hai kết quả và thảo luận các nguyên nhân có thể gây sai lệch;
e) Nêu ảnh hưởng của góc nghiêng Mặt Trời đến năng lượng bức xạ nhận được trên một đơn vị diện tích.

Góc nghiêng của Mặt Trời $\alpha$ tại một vị trí có vĩ độ $\phi$ vào ngày thứ $N$ trong năm được xấp xỉ bởi
$$\alpha =90^{\circ }-\phi -\left|\cos \left(\left(\frac{2(N+10)}{365}-m\right)180^{\circ }\right)\right|\cdot 23,5^{\circ },$$
trong đó $m=0$ nếu $1\le N\le 172,m=1$ nếu $173\le N\le 355,m=2$ nếu $356\le N\le 365$.
Tại một địa điểm có vĩ độ $\phi =22^{\circ }$, xét ngày thứ $N=320$ của năm không nhuận. Đồng thời, tại giữa trưa, một thước thẳng cao $1.30\text{m}$ tạo bóng dài $0.96\text{m}$ trên mặt đất.
a) Xác định giá trị của tham số $m$;
b) Tính góc nghiêng theo công thức thiên văn trên;
c) Tính góc nghiêng theo phương pháp đo trực tiếp, biết $\tan \alpha =\frac{\text{chieˆˋu cao thước}}{\text{độ daˋi boˊng}}$;
d) So sánh hai kết quả và thảo luận các nguyên nhân có thể gây sai lệch;
e) Nêu ảnh hưởng của góc nghiêng Mặt Trời đến năng lượng bức xạ nhận được trên một đơn vị diện tích.