Thư viện bài toán

Cho $\cos \alpha =-\frac{7}{25}$ và $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$.
a) Xác định $\sin \alpha$;
b) Tính $\tan \alpha$ và $\cot \alpha$;
c) Tính $Q=2\sin \alpha +3\cos \alpha -\tan \alpha \cot \alpha$.

Cho $\sin \alpha =\frac{5}{13}$ và $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$.
a) Xác định dấu của $\cos \alpha$ và tính $\cos \alpha$;
b) Tính $\tan \alpha$ và $\cot \alpha$;
c) Tính $P=3\sin \alpha -2\cos \alpha +\tan \alpha \cot \alpha$.

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a) $A={\sin }^{2}14^{\circ }+{\sin }^{2}76^{\circ }+{\cos }^{2}26^{\circ }+{\cos }^{2}64^{\circ }$;
b) $B=\cos 64^{\circ }+\cos 116^{\circ }+\sin 76^{\circ }-\sin 104^{\circ }$;
c) $C=\tan 14^{\circ }\tan 76^{\circ }+\cot 26^{\circ }\cot 64^{\circ }$.

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a) $A={\sin }^2{6}^{\circ }+{\sin }^{2}84^{\circ }+{\cos }^{2}39^{\circ }+{\cos }^{2}51^{\circ }$;
b) $B=\cos 51^{\circ }+\cos 129^{\circ }+\sin 84^{\circ }-\sin 96^{\circ }$;
c) $C=\tan 6^{\circ }\tan 84^{\circ }+\cot 39^{\circ }\cot 51^{\circ }$.

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a) $A={\sin }^{2}17^{\circ }+{\sin }^{2}73^{\circ }+{\cos }^{2}28^{\circ }+{\cos }^{2}62^{\circ }$;
b) $B=\cos 62^{\circ }+\cos 118^{\circ }+\sin 73^{\circ }-\sin 107^{\circ }$;
c) $C=\tan 17^{\circ }\tan 73^{\circ }+\cot 28^{\circ }\cot 62^{\circ }$.

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a) $A={\sin }^{2}12^{\circ }+{\sin }^{2}78^{\circ }+{\cos }^{2}33^{\circ }+{\cos }^{2}57^{\circ }$;
b) $B=\cos 57^{\circ }+\cos 123^{\circ }+\sin 78^{\circ }-\sin 102^{\circ }$;
c) $C=\tan 12^{\circ }\tan 78^{\circ }+\cot 33^{\circ }\cot 57^{\circ }$.

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a) $A={\sin }^2{8}^{\circ }+{\sin }^{2}82^{\circ }+{\cos }^{2}22^{\circ }+{\cos }^{2}68^{\circ }$;
b) $B=\cos 68^{\circ }+\cos 112^{\circ }+\sin 82^{\circ }-\sin 98^{\circ }$;
c) $C=\tan 8^{\circ }\tan 82^{\circ }+\cot 22^{\circ }\cot 68^{\circ }$.

Góc nghiêng của Mặt Trời tại một vị trí trên Trái Đất là góc nghiêng giữa tia nắng lúc giữa trưa với mặt đất. Trong thực tế, để đo trực tiếp góc này, vào giữa trưa (khoảng 12 giờ), em có thể dựng một thước thẳng vuông góc với mặt đất, đo độ dài của bóng thước trên mặt đất. Khi đó, tang của góc nghiêng Mặt Trời tại vị trí đặt thước bằng tỉ số giữa độ dài của thước và độ dài của bóng thước. Góc nghiêng của Mặt Trời phụ thuộc vào vĩ độ của vị trí đo và phụ thuộc vào thời gian đo trong năm (ngày thứ mấy trong năm). Tại vị trí có vĩ độ $\varphi$ và ngày thứ N trong năm, góc nghiêng của Mặt Trời α còn được tính theo công thức sau:
$$\alpha =90^{{}^{\circ }}-\varphi -\left|\cos \left(\left(\frac{2(N+10)}{365}-m\right)180^{{}^{\circ }}\right)\right|\cdot 23,5^{{}^{\circ }}$$
trong đó $m=0$ nếu $1\le N\le 172,m=1$ nếu $173\le N\le 355,m=2$ nếu $356\le N\le 365.a$ Hãy áp dụng công thức trên đề tinh góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày 10/10 trong năm không nhuận (năm mà tháng 2 có 28 ngày) tại vị trí có vĩ độ $\varphi =20^{{}^{\circ }}.b$ Hãy xác định vĩ độ tại nơi em sinh sống và tính góc nghiêng của Mặt Trời tại đó theo hai cách đã được đề cập trong bài toán (đo trực tiếp và tính theo công thứ(c) và so sánh hai kết quả thu được.
Chú ý. Công thức tính toán nói trên chính xác tới $\pm 0,5^{{}^{\circ }}$.
Góc nghiêng của Mặt Trời có ảnh hưởng tới sự hấp thụ nhiệt từ Mặt Trời của Trái Đất, tạo nên các mùa trong năm trên Trái Đất, chẳng hạn, vào mùa hè, góc nghiêng lớn nên nhiệt độ cao.

(a) Cho $cos\alpha =\frac{3}{4}$ với $0^0<\alpha <90^0$. Tính $A=\frac{tan\alpha +3cot\alpha }{tan\alpha +cot\alpha }.b$ Cho $tan\alpha =\sqrt{2}$. Tính $B=\frac{sin\alpha -cos\alpha }{{\sin }^3\alpha +3{\cos }^3\alpha +2sin\alpha }$