Thư viện bài toán

Cho hai vectơ $\vec{a},\vec{b}$ có $|\vec{a}|=4,|\vec{b}|=6$ và góc giữa chúng bằng $60^{\circ }$. Giá trị của $t\in \mathbb{R}$ để $|\vec{a}+t\vec{b}|$ nhỏ nhất là

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Điểm $M$ thỏa $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}$. Tính $AM$.

Cho lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$, bán kính $R$. Tính $\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OE}\right|$.

Cho tứ giác bất kỳ $ABCD.E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$. Điểm $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành $EFGH$. Khẳng định nào đúng?

Cho hình bình hành $ABCD.G_1,G_2$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$ và $BCD;M$ là trung điểm của $G_1{G}_2$. Biểu diễn $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$.

Trong tam giác $ABC,D\in BC$ thỏa $BD:DC=1:2$ và $E$ là trung điểm của $AD$. Biểu diễn $\overrightarrow{BE}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

Trong tam giác $ABC,M$ là trung điểm của $AB,N\in AC$ thỏa $AN:NC=2:1$, và $P$ là trung điểm của $MN$. Biểu diễn $\overrightarrow{AP}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

Cho hình bình hành $ABCD$ không suy biến. Xét phương trình $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MB}$ đối với điểm $M$. Kết luận nào đúng?

Cho tam giác $ABC,D$ là trung điểm của $BC$. Điểm $M$ thỏa $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$. Tỉ số $AM:MD$ bằng

Một drone bay $4\mathrm{km}$ về phía Đông Bắc theo hướng tạo góc $45^{\circ }$ với phương Đông, sau đó bay $4\mathrm{km}$ về phía Đông Nam cũng tạo góc $45^{\circ }$ với phương Đông. Độ lớn vectơ dịch chuyển tổng hợp là