Thư viện bài toán

Cho biểu thức
$R(x)=\frac{x^2-4x+3}{x^2-6x+8}$.
Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
(a) $R(x)>0\iff x\in (-\infty ;1)\cup (2;3)\cup (4;+\infty )$.
(b) $R(x)<1\iff x\in (2;\frac{5}{2})\cup (4;+\infty )$.
(c) $0<R(x)<1\iff x\in (-\infty ;1)\cup \left(\frac{5}{2};3\right).$

(d) Có đúng $2$ số nguyên $x\in [-3;5]$ thỏa mãn $0<R(x)<1.$

Cho tam thức $f_m(x)=(m+1)x^2-2mx+1$. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
(a) $f_m(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi
$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

(b) $f_m(x)\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi
$\frac{1-\sqrt{5}}{2}\le m\le \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
(c) Không tồn tại $m$ để $f_m(x)<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
(d) Với $m=-1,f_m(x)$ là tam thức bậc hai.

Lợi nhuận của một phương án kinh doanh được mô hình hóa bởi
$L(q)=-q^2+16q-48$ (triệu đồng), với $q\ge 0$ là số lô hàng. Đồ thị được minh họa dưới đây.

Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
(a) Phương án bắt đầu có lãi khi $q>4$ và vẫn có lãi đến trước $q=12$.
(b) Lợi nhuận lớn nhất là $15$ triệu đồng.
(c) Điều kiện $L(q)\ge 12$ tương đương $6\le q\le 10$.
(d) Nếu $q$ là số nguyên thì có đúng $8$ giá trị của $q$ để phương án có lãi.

Mặt cắt một vòm cầu được mô hình hóa bởi
$h(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+4x$ (m), với $0\le x\le 8$. Đồ thị được minh họa dưới đây.

Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
(a) Chiều cao cực đại của vòm là $8$ m.
(b) Tại các vị trí $x=2$ m và $x=6$ m, chiều cao của vòm bằng $6$ m.
(c) Phần vòm có chiều cao ít nhất $6$ m ứng với $2\le x\le 6$.
(d) Phần vòm có chiều cao lớn hơn $7,5$ m có bề rộng đúng $1$ m.

Độ cao của một vật sau khi được phóng thẳng đứng được mô hình hóa bởi
$h(t)=-5t^2+20t+25$ (m), với $t\ge 0$ tính bằng giây. Đồ thị được minh họa dưới đây.

Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
(a) Vật chạm mặt đất sau $4$ giây.
(b) Độ cao lớn nhất của vật là $45$ m.
(c) Vật ở độ cao ít nhất $40$ m trong khoảng thời gian từ $1$ đến $3$ giây, kể cả hai thời điểm biên.
(d) Trong khoảng $0\le t\le 5$, vật ở cao hơn $25$ m trong đúng $3$ giây.

Một cơ sở sản xuất mô hình hóa lợi nhuận theo số lượng sản phẩm $x$ (đơn vị: chục sản phẩm) bởi
$P(x)=-2x^2+120x-1000$ (đơn vị: triệu đồng), với $x\ge 0$. Đồ thị được minh họa dưới đây.

Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
(a) Cơ sở hòa vốn tại $x=10$ và $x=50$.
(b) Cơ sở có lãi khi $10<x<50.$

(c) Lợi nhuận lớn nhất là $800$ triệu đồng, đạt tại $x=30$.
(d) Để lợi nhuận ít nhất $600$ triệu đồng thì cần $20