Thư viện bài toán

Cho hệ $x\ge 0,y\ge 0,x\le 10,y\le 5,2x+y\le 24$. Khi đó:
(a) Điều kiện $2x+y\le 24$ loại điểm $(10;5)$.
(b) Điểm $(9;5)$ thuộc miền nghiệm.
(c) Miền nghiệm là tam giác.
(d) Hàm $F=x+4y$ đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của miền nghiệm.

Cho miền D là ngũ giác thu được từ hình chữ nhật $0\le x\le 8,0\le y\le 7$ sau khi thêm điều kiện $x+y\ge 2$. Khi đó:
(a) Hai điểm $(0;0)$ và $(1;0)$ đều bị loại khỏi D.
(b) Điểm $(8;7)$ thuộc D.
(c) Nếu tối thiểu hóa $T=2x+y$ trên D thì không cần xét các đỉnh của D.
(d) Miền D vẫn là một miền lồi.

Cho miền nghiệm D của hệ $x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 9$. Xét điều kiện bổ sung $x+2y\ge k$. Khi đó:
(a) Nếu $k\le 0$ thì điều kiện bổ sung không làm thay đổi D.
(b) Nếu $k>18$ thì hệ mới vô nghiệm.
(c) Với mọi k, hệ mới luôn có nghiệm.
(d) Đường thẳng bờ của điều kiện bổ sung là $x+2y=k$.

Cho hệ $0\le x\le 16,0\le y\le 7,x+y\ge 21$. Khi đó:
(a) Miền nghiệm nằm gần góc $(16;7)$ của hình chữ nhật.
(b) Điểm $(0;0)$ thuộc miền nghiệm.
(c) Giá trị nhỏ nhất của $x+y$ trên miền nghiệm bằng 21.
(d) Nếu xét thêm x, y là số nguyên thì chỉ cần lấy các điểm nguyên trong miền đa giác trên.

Một bài toán đầu tư có các điều kiện $x+y\le 185,x\ge 45,x\ge 4y,y\ge 0$. Khi đó:
(a) Từ $x\ge 4y$ suy ra $y\le \frac{x}{4}$.
(b) Tung độ lớn nhất của miền nghiệm đạt khi đồng thời $x+y=185$ và $x=4y$.
(c) Điểm $(45;140)$ luôn thuộc miền nghiệm.
(d) Nếu hàm lợi nhuận là $P=5x+3y$ thì P đạt cực trị tại một đỉnh của miền nghiệm.

Xét các nghiệm nguyên không âm của hệ $x+y\le 9,2x+y\ge 8$. Khi đó:
(a) Nếu $x=0$ thì y phải thỏa $8\le y\le 9$.
(b) Nếu $x=9$ thì y chỉ có thể bằng 0.
(c) Hệ không có nghiệm nguyên nào.
(d) Việc thêm điều kiện “x, y nguyên” làm thay đổi bản chất bài toán từ xét miền liên tục sang bài toán đếm hoặc tối ưu rời rạc.

Cho miền D xác định bởi $0\le x\le 9,0\le y\le 8,x+y\le 16$. Khi đó:
(a) Điểm $(9;8)$ bị loại khỏi miền D.
(b) Miền D là hình chữ nhật.
(c) Giá trị lớn nhất của $x+y$ trên D bằng 16.
(d) Đường thẳng $x+y=16$ cắt hai cạnh trên/phải của hình chữ nhật.

Trên miền nghiệm D của hệ $x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 10$, xét $F=5x+4y$. Khi đó:
(a) Giá trị nhỏ nhất của F trên D bằng 0.
(b) Nếu 5>4 thì F đạt giá trị lớn nhất tại $(10;0)$.
(c) Nếu thay điều kiện $x+y\le 10$ bằng $x+y<10$ thì F chắc chắn đạt giá trị lớn nhất trên miền mới.
(d) F là một hàm tuyến tính theo hai biến x, y.

Cho hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 13\\ x-y\le a\end{array}$$ trong đó a là tham số. Khi đó:
(a) Nếu $a\ge 13$ thì điều kiện $x-y\le a$ không làm thay đổi miền nghiệm của hệ $x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 13$.
(b) Nếu $a<0$ thì mọi điểm trên trục Ox thuộc miền nghiệm.
(c) Với $a=3$, điểm $(4;0)$ không thỏa điều kiện $x-y\le a$.
(d) Tham số a chỉ ảnh hưởng đến đường thẳng bờ $x-y=a$.

Cho hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 10\\ x+2y\ge 3\end{array}$$ xét các nghiệm nguyên không âm. Khi đó:
(a) Điểm $(0;0)$ là nghiệm của hệ.
(b) Nếu $y=0$ thì x phải thỏa $3\le x\le 10$.
(c) Số nghiệm nguyên của hệ có thể tìm bằng cách xét lần lượt các giá trị nguyên của y.
(d) Mọi nghiệm của hệ đều nằm trên đường thẳng $x+y=10$.